В какой срок районный суд должен вынести решение на обжалование решения мирового судьи

Если решение, то Статья 327.2 ГПК РФ. Сроки рассмотрения дела в суде апелляционной инстанции
1. Районный суд, верховный суд республики, краевой, областной суд, суд города федерального значения, суд автономной области, суд автономного округа, окружной (флотский) военный суд рассматривают поступившее по апелляционным жалобе, представлению дело в срок, не превышающий двух месяцев со дня его поступления в суд апелляционной инстанции.

Но на практике бывает и более двух месяцев.

А если постановление по адм. делу, то в зависимости от категории правонарушения и назначенного наказания смотри ст. 30.5 К РФ о АП