Слово "ДОЛЖЕН" относится к каким частям речи?

ДОЛЖЕН – это и не глагол, и не наречие. Это КРАТКОЕ ПРИЛАГАТЕЛЬНОЕ, которое в современном русском языке не имеет полных форм.

ДОЛЖЕН – это краткое прилагательное, так как:
● на вопрос КАКОВ? отвечает;
● изменяется по числам (должен – должны), а в единственном числе по родам (должен – должна, должно);
● в предложении может быть сказуемым.

Когда-то прилагательное ДОЛЖЕН имело полную форму ДОЛЖНЫЙ, но так как полное прилагательное давно утратило значения «имеющий какой-либо долг, денежное или иное обязательство», «взятый в долг; не отданный – о деньгах)» и стало употребляться в значениях «такой, как нужно; подобающий, соответствующий», «такой, каким следует, подобает быть», то оно утратило свои краткие формы, которые «стали жить» самостоятельно, сохранив утраченные полными формами значения.



Обратите внимание:
● глаголы в прошедшем времени изменяются так же, как прилагательное ДОЛЖЕН (по числам, а в единственном числе по родам: нёс – несла, несло, несли; сказал – сказала, сказало, сказали), но у них есть формообразующий суффикс л (в словоформе НЁС этот суффикс нулевой), а слово ДОЛЖЕН такого суффикса не имеет, следовательно, к глаголам его никак нельзя отнести;
● слово ДОЛЖЕН изменяется, а наречие – неизменяемая часть реи, так что и к наречиям ДОЛЖЕН никоим образом не относится.

Краткое прилагательное ДОЛЖЕН может предложении может быть:
● вспомогательной частью составного глагольного сказуемого в сочетании с нулевой или выраженной связкой (основная часть – инфинитив): Я должен был (буду) прочитать этот роман (связка был или буду обозначает прошедшее или будущее время); Я должен прочитать этот роман (нулевая связка – показатель настоящего времени);
● в сочетании с глаголами БЫТЬ, СТАТЬ – вспомогательной частью составного именного сказуемого с существительным или местоимением-существительным, прилагательным и др. в основной части: Он ДОЛЖЕН БЫТЬ (СТАТЬ) ИНЖЕНЕРОМ. Это ДОЛЖЕН БЫТЬ ОН. Он ДОЛЖЕН БЫТЬ УМНЫМ. Ты ДОЛЖЕН СТАТЬ БОЛЕЕ ОСМОТРИТЕЛЬНЫМ;
● основной частью составного именного сказуемого с нулевой или выраженной связкой: Он мне ДОЛЖЕН пятьсот рублей (сказуемое – должен, связка нулевая). Он мне ДОЛЖЕН БЫЛ пятьсот рублей (сказуемое – должен был: основная часть – должен, глагол-связка – был).