е^x=(e^x)` и (1+1/x)^x=e Почему число е фигурирует в обоих этих формулах? Какая между ними связь?

Функция f=e^x (e в степени x) называется экспонентой. Значение этой функции равно числу e, возведенному в степень x (где x -- переменная) .
У этой функции есть очень интересные свойства. Например, если эту функцию продифференцировать, то получим ту же самую функцию. Об этом как раз первое равенство.

Связи между этими двумя равенствами нет никакой. Первое верное при любом значении переменной x и касается дифференциального исчисления, второе -- обычное уравнение с одной неизвестной.

Подробнее здесь и здесь.