Что должен делать работник в этом случае?

Подобные вещи обычно решаются по обоюдному согласию с руководителем. Если есть у вас отгула за ранее отработанное время, то пишете заявление на отгул (а) , если нет отгулов, то без сохранения з/п с указанием причины (классически - по семейным обстоятельствам) , визируете согласие у непосредственного и вперед к вышестоящему начальнику (руководителю и т. д.) . И все. ТК в таких случая ссылается на соглашение сторон и наличие производственных возможностей. Те. не факт, что ваша просьба буде удовлетворена.
Другой вариант, например, если вы являетесь донором, на официальных основаниях вам положен дополнительный день отдыха. Подобные отгула являются обязательными и не подлежат согласованию с руководителем. В этом случае пишете заявление установленной формы с указанием реквизитов донорского листка и ставите перед фактом руководство. В этом случае наличие производственных возможностей - это проблема руководства.
Есть еще вариант - взять эти дни в счет отпуска. В этом случае опять с согласия руководителя и вашего заявления оформляется на эти дни отпуск. И опять только при наличии производственных возможностей.
А насчет больничного листа - лечение зубов и зубопротезирование не является неотложной медицинской помощью и оказанием медицинских услуг по оказанию временной нетрудоспособности. Больничный вам выдан не будет. Многие руководители также имеют устойчивую точку зрения, что лечиться надо в свободное от работы время. При острой боли с удалением зуба есть шанс, что вам могут выдать больничный, если будет повреждение десны или челюстной кости.
Но на больничный лучше не надейтесь, идите с заявлением к начальнику с кислой миной и повязкой на щеке и просите нужные вам дни. Нормальное руководство ценит работников и всегда идет навстречу.