К какой части речи относится слово проявление и ещё:как правилтно говорить мой день рождения или моё день рождения?

ПРОЯВЛЕНИЕ – это ИМЯ СУЩЕСТВИТЕЛЬНОЕ.

ПРОЯВЛЕНИЕ – существительное в форме именительного или винительного падежа единственного числа, потому что:
◆ на падежный вопрос ЧТО? отвечает;
◆ обозначает ПРЕДМЕТ (в грамматике мы называем предметом всё то, о чём можно спросить кто это? или что это?).

А так как происхождение этого слова связано с глаголом ПРОЯВЛЯТЬ, можно уточнить: это отглагольное существительное:
◆ ПРОЯВЛЕНИЕ интереса;
◆ ПРОЯВЛЕНИЕ плёнки.

ПРОЯВЛЕНИЕ – существительное нарицательное, неодушевлённое, среднего рода, 2-го склонения, на -ИЕ.



В словосочетании ДЕНЬ РОЖДЕНИЯ главное слово – ДЕНЬ: день (какой?) рождения. На этом основании прилагательные, местоимения-прилагательные, причастия, порядковые числительные согласуем именно со словом ДЕНЬ, а оно мужского рода, поэтому – МОЙ, НАШ, ВАШ, НАТАШИН, ПЕТИН, ПЕРВЫЙ, ДЕСЯТЫЙ, ДОЛГОЖДАННЫЙ и пр.:
◆ мой день рождения;
◆ ваш день рождения;
◆ Наташин день рождения;
◆ десятый день рождения;
◆ счастливый день рождения;
◆ запомнившийся день рождения и пр.
.