Как решается подобная олимпиадная задачка? 5-6 класс. Перебором, наверное, слишком долго.

Question

В алфавите племени АБУМ две гласные буквы — А, У и две согласные — Б, М. Все слова племени АБУМ состоят из 13 букв, причём гласные чередуются с согласными. Слова, которые содержат комбинацию БУ или БАМ, считаются плохими, а слова, которые содержат БА или МАМ, — милыми. Каких слов больше — плохих или милых? Не забудьте обосновать свой ответ.

Да, Удачник, спасибо, вы сделали очень верное замечание по поводу БАМ и БА. Получается, что условия задачи не очень верные?

И еще интересно: условие "гласные чередуются с согласными" означает, что начинаются слова с гласных букв?

Выяснилось, что слова, содержащие БА и БАМ, считаются милыми и плохими сразу.

И начинаться слова могут хоть с гласной, хоть с согласной.

Решал перебором задачку, исключая возможные "мило-плохие" слова, и получил ответ такой: плохих слов больше (880 возможных плохих слов против 439 возможных милых) . 
Спасибо большое всем за потраченное время и предложенные решения! 
Какой ответ лучше и правильный - не знаю.)) ) 
Такое ощущение, что это задачка для программирования. ) 
Было бы, конечно, интересно узнать верное решение.

В своём ответе слова, являющиеся и милыми, и плохими одновременно, не считал, так как они по сути не влияют на конечный вывод.

Екатерина Вдовина · Accepted Answer

Здесь комбинаторика должна работать (но это не для 5 класса) 
Просто по логике: 
Слов с БУ и с БА - одинаково (пусть по х слов) 
Слов с БАМ и МАМ - одинаково (пусть по у слов) 
x>y т. к. чем короче комбинация из букв, тем больше слов с ней попадется 
Дальше: слова с БА - милые, слова с БАМ - плохие. Из милых вычитается у слов. 
Итого: 
плохих слов БУ + БАМ = х + у - больше 
милых слов БА + МАМ - БАМ = х + у - у = х 
(!! в решении не учтено, что слова состоят из 13 букв. ответ может быть неверным. !!)

Антон Шептицкий · Answer

А ничего, что слово, содержащее БАМ - одновременно и плохое и милое? Оно ведь и БА тоже содержит! 
Всего в слове 13 букв. На 1 месте может быть любая из 4. 
1) Пусть на 1 месте гласная - А или У. 2 варианта. Тогда на 2 месте согласная - Б или М. Тоже 2, всего 4. 
На третьем опять гласная. Опять 2 варианта, всего 8. И так все 13 букв. То есть 2^13 вариантов. 
2) Пусть на 1 месте согласная - Б или М. Опять 2 варианта. На 2 месте гласная, на 3 согласная, и так далее. 
Тоже каждый раз по 2 варианта, а всего 2^13 вариантов. 
Значит, всего слов в этом уникальном языке 2*2^13 = 2^14. 
Но, кажется, эти подсчеты здесь не нужны. Это так, на всякий случай. 
 
Допустим, в слове встретилась буква Б. Тогда, если после нее будет У, то слово плохое, а если А, то милое. 
Обе буквы могут встретиться с одинаковой вероятностью, поэтому таких плохих и милых слов поровну. 
Далее, если после БА появилась буква Б, то слово так и осталось милым, это половина случаев, 
а если М, то стало плохим (БАМ) , это тоже половина случаев, хотя при этом и осталось милым (БА) . 
То есть количество милых слов осталось тем же, а количество плохих увеличилось. Плохие впереди. 
Теперь, если встретилась буква М, а после нее У, то слово осталось никаким - не милым и не плохим. 
Это 1/4 случаев. Другая 1/4 - после М стоит А. Пока слово тоже остается никаким. 
Далее, в половине от этой 1/4 случаев, то есть в 1/8 от общего числа, появится МАМ, и слово станет милым. 
А еще в 1/8 случаев появится МАБ, и слово останется никаким. 
Подведем итог. 
В половине слов на определенном месте есть Б и в половине М. 
В 1/4 слов есть БА и в 1/4 БУ, милых и плохих слов одинаково. 
В 1/8 слов есть БАМ и в 1/8 БАБ, плохих слов на 1/8 больше. 
В 1/4 слов есть МА и в 1/4 МУ. 
В 1/8 слов есть МАМ и в 1/8 МАБ, милых слов на 1/8 больше. 
В результате плохих и милых слов поровну.

Маргарита Гончарова · Answer

Кто сказал, что пересечение множеств МИЛЫХ и ПЛОХИХ слов пустое?
Отнюдь.. .
Составим четыре списка.
Первые два будут содержать МИЛЫЕ слова:
1. Все МИЛЫЕ, потому что БА
2. Все МИЛЫЕ, потому что МАМ
Третий и четвертый список, соответственно.
3. Все ПЛОХИЕ, потому что БУ
4. Все ПЛОХИЕ, потму что БАМ
Я утверждаю что для (1)+(2)=(3)+(4)
Более того, (1)=(3), а (2)=(4)
Упорядочим (1) по алфавиту. И проделаем с каждым словом из (1) такую операцию: А<=>У заменим все А на У, а все У на А
Аналогичную операцию поделаем с (3)
В результате из списка (1) мы получим список (3),
а из списка (3) - список (1).
Легко понять, что невозможно существование слова ПЛОХОГО, потому что БУ из которого не выйдет МИЛОЕ, потму что БА. И наооборот.
Аналогично замена Б<=>М для групп (2) и (4).