Натуральные числа a и b взаимно просты.

Ответ : 1 или 2.

Из равенства a^2+b^2=(a+b)^2-2ab следует, что НОД (a+b; a^2+b^2) = НОД (a+b; 2ab).
Докажем, что этот делитель м. б. равен 1 или 2.
Допустим, он равен d (d не=1, d не =2). Тогда ввиду взаимной простоты a и b на d делится или a, или b.
А из этого следует, что a+b не делится на d. Противоречие.

Пример, когда d=1: a=2;b=3.
Пример, когда d=2: a=3;b=5.