Докажите, что если натуральное число не делится на 3, то его квадрат, уменьшенный на 1, делится на 3

Элементарно, Мария. Вы, конечно, знаете, что число, которое ДЕЛИТСЯ на 3, записывается в виде 3а. А вот число, которое НЕ ДЕЛИТСЯ на 3, можно записать в виде 3а + 1 или 3а + 2 (т. к. оно дает в остатке либо 1, либо 2).
Каждый из этих вариантов возведем в квадрат:
9а2 + 6а + 1
9а2 + 12а + 4
Если каждое из полученных чисел уменьшить на 1, то останутся слагаемые, все кратные 3:
9а2 + 6а
9а2 + 12а+ 3
Значит и их сумма делится на 3.