На чем можно доехать из Бежаниц до Пскова? (желательно по пятницам вечером) И из Пскова обратно (по воскресеньям)?

В пятницу в 17-00 - проходящий автобус Великие Луки - Псков. Позже ничего (до этого - в 13-49), по крайней мере, без пересадок.

Расписание автобусов Псков - Бежаницы на воскресенье:
4-05 (Питер - Великие Луки)
11-30 Псков - Великие Луки
18-00 Псков - Великие Луки

Также в 18-00 есть поезд Псков - Москва с вагоном до Минска. Ехать до ст. Сущёво - это и есть Бежаницы. Правда, ходит он довольно редко, идёт долго, да и стоит значительно дороже автобуса.