какая часть речи слова трёхэтажный

Это прилагательное (то есть: высотой в три этажа)

Если смущает "трех" в составе слово, просто задайте вопрос: какой? трехэтажный - на такой вопрос отвечают прилагательные.

(сравните третий - отвечает на вопрос: который (по счету) ?
тройка - вопрос что? - это существительное)