Не знаю, конечно, как это должно выглядеть с юридическими формальностями, но по сути, вы выполнили их же работу, то есть нашли себе работу по специальности. Так что скажите тому инспектору, что место на курсах парикмахеров вы оставляете для неё, или него, так как на своём месте, инспектор не справляется со своей работой. А принуждать вас не имеет ни кто права. Если бы вы окончили какие то курсы, где оплату производил бы ваш потенциальный работодатель, то тогда вопросов нет, вы обязаны или работать у него, или возместить стоимость обучения. Но в вашем случае, ни кто, ни кому, ни чего не обязан! Просто они не хотят возиться с отзывом денег, которые перечислены бюджетом за ваше обучение, и потом, рушите их отчёты, которые, возможно, уже написаны. Так что снимайтесь с учёта на бирже, и устраивайтесь на новое место, без каких либо переживаний.