Бесконечно убывающая геометрическая прогрессия, сумма которой равна 16/3, содержит член, равный 1/6.

Сумма беск. убывающей геом. прогрессии (индекс "б" значит "бесконечность")
Sб = b1/(1-q) = 16/3
Пусть искомый номер равен k.
По условию,
S(k-1) = 30*S(k+1,б) = 30*b(k+1)/((1-q)
Очевидно,
Sб = S(k-1) + 1/6 + S(k+1,б) = 1/6 + 31*S(k+1,б)
Тогда
31*S(k+1,б) = 16/3 - 1/6 = 31/6
S(k+1,б) = 1/6 = b(k+1)/(1-q)
S(k+1,б) /Sб = b(k+1)/b1 = q^k = 1/32 = (1/2)^5
k = 5.
При этом b1 = 8/3
Легко проверить, что все условия задачи выполняются