где можно сделать вакцинацию БЦЖ годовалому ребёнку, исключая районные поликлиники?

нет, нельзя. только в городской районной поликлинике. в платных не делают. это касается именно бцж.

Только по месту прописки

Там, где наблюдается ребенок педиатром. Бцж -М делается после постановки реакции Манту специально обученной медсестрой (вакцинатором) в специально выделенный день (в этот день другие прививки не делаются) после осмотра педиатром с учетом противопоказаний (ведь почему-то в роддоме Вашего малыша не привили - значит был отвод)

А зачем БЦЖ годовалому ребенку? В роддоме не поставили? И вообще, лицензии на профилактику и лечение туберкулеза частным клиникам не дают. Так что, задайте все вопросы в районной поликлинике.