Можно ли функцию, заданную неявно уравнением z=x+arctg(y/x+z) представить в виде z(x,y)?

Нет, нельзя. Так как иначе для каждой пары (х, у) существует не более одного z, удовлетворяющему данному уравнению, но нетрудно убедиться с помощью графиков, что для х=1 и у=0, например, это уравнение имеет бесконечно много решений по переменной z.