Как отправить почтовую открытку, чтоб она пришла в тот же день или на следующий?

Это называется телеграмма "Молния" раньше её можно было сделать на поздравительном бланке.
Пишешь текст отдаёшь сотруднице выбираешь по каталогу бланк-открытку. А в отделении в другом городе принимают наклеивают бумажку на поздравительный бланк и приносят. Молния стоила дороже всего и доставка была срочной.

Посмотрите в услугах почты и телеграфа.
Только сейчас это вроде на почте называется электронное письмо. Нужно позвонить на почту россии.

А если доставка в том-же городе курьерская служба Вам в помощь.

Установить дату отправки.