У Тургенева есть повесть "Первая любовь" - вот это действительно произведение автобиографическое. А в "Асе" есть мотивы драматической жизни незаконорожденного ребенка - полудворянина-полукрепостного. У самого Тургенева была такая дочка - может, "Ася" - это размышления на тему ее будущего.
А вообще дело не в этом, а в том, что вот не хватило у парня решительности - полюбить, сделать предложение, вообще, ЧТО-ТО СДЕЛАТЬ - и потерял удивительную девушку, которая его любила. Слабый мужчина - это вообще чисто тургеневский тип (исключение - болгарин Инсаров и нигилист Базаров) .
А вопрос "зачем писатель написал то или это? " - вопрос не по делу. Зачем? чтобы самому разобраться в чем-то. В жизни. В любви. В себе. Вот для того и пишет.
Есть источники, в которых говориться, что Тургенев в произведении "Ася" описывал свою первую любовь. Образ Аси похож на образ девушки, в которую был влюблен Тургенев в молодые годы. Может быть он написал эту повесть, как замаскированную автобиографию, состоящую из трогательных воспоминаний.