Давайте вспомним, у каких частей речи есть категория рода.
Как признак постоянный, то есть не меняющийся при изменении форм слова, РОД есть:
★ у существительных, например: телевизор, машина, озеро;
★ у личных местоимений 3-го лица единственного числа ОН, ОНА, ОНО.
Как признак непостоянный, то есть меняющийся при изменении форм слова, РОД есть:
★ у прилагательных в формах единственного числа, например: интересный, интересная, интересное; интересен, интересна, интересно;
★ у слов, похожих на прилагательные (местоимений-прилагательных, порядковых числительных, причастий), тоже в формах единственного числа, например: какой, какая, какое; сотый, сотая, сотое; разбитый, разбитая, разбитое, разбит, разбита, разбито;
★ у глаголов прошедшего времени изъявительного наклонения в формах единственного числа и у глаголов повелительного наклонения в формах единственного числа, например: сказал, сказала, сказало; сказал бы, сказала бы, сказало бы.
Это всё. У других частей речи категории рода нет.
Теперь посмотрим на слово ИЗДАВНА, выясним, к какой части речи оно относится.
Это слово отвечает на вопрос КОГДА? и никак не изменяется, в предложении выполняет роль обстоятельства времени, то есть это наречие, неизменяемая часть речи. Наречия рода не имеют.
ВЫВОД: наречие ИЗДАВНА рода НЕ ИМЕЕТ.
У наречия нет категории рода.