площадь квадрата равна S.Найдите

Question

а) длину вписанной окружности; б) длину дуги, заключенной между двумя соседними точками касания; в) площадь части квадрата, лежащей вне вписанной окружности

Юлия · Accepted Answer

Сторона квадрата равна sqrt(S). 
А) Радиус вписанной окружности квадрата равен R=a/2 = sqrt(S)/2. Длина окружности равна: С=2piR = 2pisqrt(S)=pi sqrt(S). 
Б) Длина дуги равна R alpha, где alpha - угол в радианах, стягивающий эту дугу, здесь он равен 90 градусам, так как касание происходит в серединах сторон квадрата, а центр вписанной окружности совпадает с центром квадрата (точкой пересечения средних линий или диагоналей квадрата) . Поэтому L=sqrt(S)/2 * pi/2 =sqrt(S) * pi/4. 
В) Ищем разность площадей квадрата и его вписанной круга: 
площадь квадрата равна S; 
площадь вписанного круга равна: piR^2=pi * (sqrt(S)/2)^2 = piS/4. 
Sвнешн=S - piS/4=S(4-pi)/4.