Если я купил авто, и не ставил его на учёт, могу ли я продать его?

Продать можете. Нужно оформить со своим покупателем договор купли-продажи, естественно в нем Вы продавец со всеми своими данными. ПТС не трогайте (так понимаю, Вы в него не вписаны, и это хорошо) . Обязательно нужно отдать покупателю свой ДКП, по которому Вы купили авто. Иначе Ваш покупатель не поставит авто на учет. Т. е. у покупателя на руках должны быть 2 ДКП - с Вами и Ваш с тем, кто по ПТС последний владелец, и ПТС. На основании этих документов Ваш покупатель регистрирует авто на свое имя. Если бы Вы были вписаны в ПТС, то эта запись аннулируется на основании договора.
Для налоговой (если потребуется) у Вас на руках должны быть оригиналы или копии ДКП покупки и продажи.