Быть и забыть - это однокоренные слова или нет? и если нет, то какие корни у этих слов?

Есть этимологический (по происхождению) морфемный анализ, и есть анализ состава слова с точки зрения современного русского языка. Они могут совпадать и могут не совпадать.
Этимологически слова БЫ-ТЬ ---ЗА-БЫ-ТЬ ---ДО-БЫ-ТЬ являются родственными, поскольку в древности они имели один корень -БЫ-,
но в современном русском языке слова БЫ-ТЬ ---ЗАБЫ-ТЬ --ДОБЫ-ТЬ имеют разные корни, которые появились в результате сращения старой приставки и старого корня:
ЗА-+-БЫ- (ть) ---> ЗАБЫ-(ть)
ДО-+-БЫ-(ть) ---> ДОБЫ-(ть) .
В современным русском языке слова БЫ-ть, ЗАБЫ-ть, ДОБЫ-ть, таким образом, имеют разные корни.