Как решить интеграл x^3-5x^2+5x+23/(x-1)(x+1)(x-5)?

Это рациональная дробь, и для взятия таких интегралов есть СТАНДАРТНЫЕ приёмы, подробно описанные в учебнике. Начните с разложения дроби на множители - раз знаменатель явно представлен в виде произведения двучленов, это не составит труда.