составить уравнение перпендикуляра, опущенного из точки Р (-1,0,4) на прямую х=1+t, y=2t, z=4-t

Q = {1 + t; 2t; 4 − t} — произвольная точка на заданной прямой.
P = {−1; 0; 4}.

Определим, при каком значении параметра t вектор QP = {−2 − t; −2t; t} будет перпендикулярен направляющему вектору s = {1; 2; −1} заданной прямой.
(QP, s) = 0 ⇒ −2 − t + 2·(−2t) + (−1)·t = 0 ⇔ −2 − 6t = 0 ⇒ t = −⅓.

Подставим значение параметра t = −⅓ в QP = {−2 − t; −2t; t}, получим: QP = {−⁵⁄₃; ⅔; −⅓} ~ {−5; 2; −1}. Тогда вектор QP = {−5; 2; −1} будет напрявляющим для искомой прямой.

По точке P = {−1; 0; 4} и направляющему вектору составляем параметрическое уравнение искомой прямой:
{x = −1 − 5t
{y = 2t
{z = 4 − t