Координаты центра окружности в прямоугольной системе координат являются иррациональными числами. Доказать не существует

Question

....треугольника, вписанного в этот круг, все вершины которого имеют рациональные координаты.

Svetlana Sarycheva · Accepted Answer

Допустим, что такой треугольник существует. У треугольника с вершинами с рациональными координатами площадь также число рациональное (это можно доказать исходя из того, что площадь треугольника с "целыми" вершинами-рациональное число ). По предположению окружность описана около этоготт реугольника, и по формуле 
R=abc/(4S) находим ее радиус. Выходит, что R - рациональное число . Противоречие

Катерина Ионова · Answer

Это неверно, что площадь треугольника с "рациональными вершинами" рациональна. 
Координаты центра окружности, описанной около треугольника, находятся совместным решением уравнений, описывающих перпендикуляры, востановленные из середин двух его сторон. Легко убедиться, что при рациональных координатах вершин треугольника все коэффициенты этих линейных уравнений рациональны. Следовательно, координаты центра упомянутой окружности будут рациональными. 
Итак, доказали, что если А ("вершины рациональны"), то не В ("центр нерационален"). Согласно формальной логике тогда если В, то не А. Доказательство завершено.