Что находится внутри батарейки (обычной пальчиковой) . И можно ли как-нибудь в домашних условиях увеличить её мощность?

Внутри Химия.
Увеличить мощность для батарейки- значит при том же напряжении (а это задается химическим составом наполнителя батареи) нужно получить больший ток ( а вот это определяется объёмом реагентов) . Сделайте батарею БОЛЬШИХ размеров- получите свои 1.5в и ток, например 100А. , а не 2А.
Как устроен элемент Ленклаше- в Поисковике расскажут. А дома вы не сделаете. У вас не завод.
Или сами не захотите заморачиваться.