Может ли гражданин белоруссии получить водительские права в России?

Может - но на срок своей регистрации.
Если Вы временно пребываете в РФ:
"45. Лицам, временно пребывающим на территории Российской Федерации и не имеющим иностранных национальных водительских удостоверений, выдача российских водительских удостоверений производится на общих основаниях на срок действия регистрации их документов на право временного пребывания в Российской Федерации. "