На какую специальность нужно поступать, что бы стать сотрудником лаборатории в больнице?

Смотря каким сотрудником.
Если обычным лаборантом, то достаточно будет закончить мед. училище, лаборантский факультет.
А если желаете врачом-лаборантом стать, то тут уж необходимо поступать в мед. вуз на специальность "Клиническая лабораторная диагностика" или "Лабораторная генетика".