Паспорт (достаточно внутреннего, но можно и по заграну, если хотите) нужен только для покупки билета и посадки в поезд.
Контроля на границе Россия-Белоруссия нет вообще, так что никаких штампов.
Когда я ехал из Москвы даже не в Минск, а в Киев в начале текущего года, штамп о пересечении границы ставился не в паспорт, а в миграционную карту - листок разграфлённой белой бумаги, который следовало получить уже в вагоне у проводника. Паспорт, естественно, требовался - вполне годился обычный российский (не загранпаспорт). Но ведь теперь и при поездках в поезде по России предъявлять паспорт при посадке в поезд обязательно! При обратном выезде в Россию пограничники миграционную карту забирали.
Минск из России, из Белоруссии в Россию, можно ехать без загранпаспорта, и визы не нужны. Но обычный паспорт, разумеется, необходим: без него просто не пустят на поезд, да и в некоторых местах наличие документов контролируется.