⇢ RK
Ritakichaeva Kalina
Татьяна Карих
z =(х^2)у-у^3-х^2-3у+3
1.Найдем частные производные.
?z/?х = 2xy-2x
?z/?y = x^2-3y^2-3
2. Решим систему уравнений.
2xy-2x=0
x^2-3y^2-3=0
есть:
1)y= -i
2)x= 0
и
1)y= i
2)x= 0
и
1)y= 1
2)x=-v6
1)y= 1
2)x= v6
Получим:
а) Из первого уравнения выражаем x и подставляем во второе уравнение:
x = 0
-3y^2-3 =0
Для данной системы уравнений нет корней.
y1 =-1/3 v3x^2-9
-2/3x v3x^2-9-2x=0
или
2/3x(-v3x^2-9-3)=0
y2 = 1/3 v3x^2-9
2/3x v3x^2-9-2x=0
или
2/3x(v3x^2-9-3)=0
Откуда x1=0; x2=-\r(6); x3 =\r(6); x4=0; x5=-\r(6); x6=\r(6)
Данные значения x подставляем в выражение для y. Получаем: y1=-i; y2=-1; y3=-1; y4=i; y5=1; y6=1
Количество критических точек равно 7.
M1(0;1), M2(0;-i), M3(-v6;-1), M4(v6;-1), M5(0;i), M6(-v6;1), M7(v6;1)
3. Найдем частные производные второго порядка.
?^2z/?x?y=2x
?^2z/?x^2=2y-2
?^2z/?y^2=-6y
4. Вычислим значение этих частных производных второго порядка в критических точках M(x0;y0).
Вычисляем значения для точки M1(0;1)
A= ?^2z/?x^2(0;1)=0
C= ?^2z/?y^2(0;1)=-6
B= ?^2z/?x?y(0;1)=0
AC-B^2=0, то вопрос о наличии экстремума остается открытым.
Вычисляем значения для точки M2(0;-i)
A= ?^2z/?x^2(0;-I)=-2-2i
C= ?^2z/?y^2(0;-I)=6i
B= ?^2z/?x?y(0;-I)=0
AC- B^2=6i(-2-2i) > 0 и A > 0, то в точке M2(0;-i) имеется минимум z(0;-i)=-5
Вычисляем значения для точки:
M3(-v6;-1)
A= ?^2z/?x^2(-v6;-1)=-4
C= ?^2z/?y^2(-v6;-1)=6
B= ?^2z/?x?y(-v6;-1)=-2 v6
AC-B^2=-48 < 0, то глобального экстремума нет.
Вычисляем значения для точки:
M4(v6;-1)
A= ?^2z/?x^2(v6;-1)=-4
C= ?^2z/?y^2(v6;-1)=6
B= ?^2z/?x?y(v6;-1)=2 v6
AC - B2=-48 < 0, то глобального экстремума нет.
Вычисляем значения для точки M5(0;i)
A= ?^2z/?x^2(0;i)=-2+2i
C= ?^2z/?y^2(0;i)=-6i
B= ?^2z/?x?y(0;i)=0
AC - B^2=-6i(-2+2i) > 0 и A > 0, то в точке M5(0;i) имеется минимум z(0;i)=-5
Вычисляем значения для точки:
M6(-v6;1)
A= ?^2z/?x^2(-v6;1)=0
C= ?^2z/?y^2(-v6;1)=-6
B= ?^2z/?x?y(-v6;1)=-2 v6
AC - B^2=-24 < 0, то глобального экстремума нет.
Вычисляем значения для точки:
M7(v6;1)
A= ?^2z/?x^2(v6;1)=0
C= ?^2z/?y^2(v6;1)=-6
B= ?^2z/?x?y(v6;1)=2 v6
AC - B^2=-24 < 0, то глобального экстремума нет.
Вывод: В точке M2(0;-I) имеется минимум z(0;-I)=-5; В точке M5(0;I) имеется минимум z(0;I)=-5;
Похожие вопросы