Задача о трех точках. Помогите математически доказать симметрию.

Question

Три точки находятся в вершинах равностороннего треугольника со стороной 
a. Они начинают одновременно двигаться с постоянной по модулю скоростью 
v, причем первая точка все время держиткурс на вторую, вторая - на 
третью, третья - на первую. Помогите математически доказать, что симметрия данной системы не нарушается со временем (то есть в любой момент времени точки остаются в вершинах равностороннего треугольника) .

Людмила Ковалева · Accepted Answer

Припишем сторонам тр-ника номера: а1, а2, а3. Теперь предположим обратное, что симметрия нарушается. Для определённости, пусть сторона а1 стала длиннее а2 и а3. Однако в силу начальной симметрии, стороны можно было бы и перенумеровать, и тогда самой длинной должна была бы стать другая сторона, с номером 1. Однако ясно, что реальный результат не может зависеть от субъективного назначения номеров. Это противоречие заставляет отказаться от предположения о нарушения симметрии.
Очевидно, аналогичный вывод сохраняется и для любого правильного многоугольника.

Саша Макаров · Answer

в любом треугольнике, даже в неравностороннем точки всегда остаются в вершинах. и как в голову автору пришла мысль, что необходимо доказывать симметричность того, что заведомо симметрично? автора задачи нужно поить крысиным ядом, пока крысы в его голове не передохнут.

Галина ***** · Answer

ежли так, то они вращаются вокруг одного центра и, следователно, не перемещаются друг относительно друга так, как их скорости равны и постоянны, что следует из условия задачи

Альберт · Answer

Поскольку скорость каждой точки постоянно, за каждый промежуток времени они проходят одинаковое расстояние. Следовательно и расстояние между ними остаётся одинаковым, то есть они образуют равносторонний треугольник.

С Моторчиком · Answer

Поместим на каждую вершину наблюдателя, который будет отслеживать вершину-цель. Для него движение будет равномерным и прямолинейным. В момент времени t расстояние до цели будет равно a-vt. Поскольку это все справедливо для любого из трех, то расстояние между вершинами в момент времени t будет а-vt.

Ирина · Answer

По-моему, это очевидно следует из равноправия систем отсчёта -- на какое бы расстояние и под каким углом относительно стороны ни перемещалась точка за малый промежуток времени, остальные переместятся на то же расстояние и под теми же углами, поскольку начальные условия для всех точек одинаковы (вернее, для каждой точки можно выбрать такую систему отсчёта, что начальные условия для неё будут такими же, как и для других) . "Малый промежуток" удобно использовать для конкретики -- у меня, например, получилось, что при перемещении всех точек на некое расстояние vdt, длина всех сторон сократится на (3/2)vdt.