Три точки находяися в вершинах равностороннего треугольника. Они начинают одновременно двигаться с одинаковой по модулю скоростью, причем первая точка всегда держит курс на вторую, вторая на третью, а третья на первую. Как доказать, что они встретятся, и точкой встречи будет центр треугольника.
Сначала упростим задачу: пусть точки совершают короткие
движения по прямой, а затем меняют направления, затем снова
короткий шаг по прямой, и так далее. Это - "ломаное"
приближение к непрерывному движению.
Рассмотрим сначала две точки, называя их 1-я и 2-я. Когда 2-я
точка сдвинулась вдоль стороны тр-ка на малый отрезок, то она
приблизилась к центру. Теперь у 1-й точки вектор скорости
поворачивается к центру на некоторый малый угол. То же самое
и у 2-й и 3-й точки.
Второй маленький шаг еще больше приблизит все точки к центру.
Из симметрии ясно, что точки в любой момент времени
находятся в вершинах правильного треугольника, и размеры
этого тр-ка уменьшаются.
Теперь перейдем к пределу по длине шага, тогда траектории
станут непрерывными кривыми типа спирали. Расстояние каждой
точки до центра монотонно уменьшается и всегда положительно,
значит, существует предел этого расстояния при стремлении
времени к бесконечности. Предельной кривой не может быть
окружность, даже маленькая, потому что при движении по такой
окружности вектор скорости направлен по касательной, что
противоречит условию, что "точка держит курс на другую точку".
Итак, все три точки когда-нибудь сойдутся в центре треугольника.
Интересно, произойдет это за конечное время?
⇢