Посмотрите отели на островах. Некоторые имеют хорошую инфраструктуру для отдыха с детьми, свои пляжи. Например, сеть отелей Mitsis. На Родосе есть отели со своим пляжем - район Фалираки, Линдос.
1. Многое зависит от того, когда именно ехать, ибо климат на севере и юге страны отличаются весьма существенно.
2. Частных пляжей ни в Греции, ни в других европейских странах нет. Все они муниципальные и пользоваться ими может любой желающий.
3. ИМХО, выбирать надо всё-ж не столько остров, сколько отель, который больше приспособлен для отдыха с детьми. Греция - это не Турция, здесь отелей с инфраструктурой, ориентированной на отдых с детьми, в разы меньше. И уж ещё меньше отелей, имеющих на своей территории разного рода водные горки и т. п. развлечения.
Уточните даты, от этого все зависит!
Родос (районы Фалираки, Линдос, Каллифея, Пефки)
Отелей, имеющих свои пляжи, в Греции очень мало - пляжи государственные!
А для отдыха с детьми посмотрите Крит или Корфу - там и аквапарк и другие развлечения для деток.
Езжайте не на остров. Собственный пляж у Олимпиан Бэй в Катерини (Пеерия) . Неплохая 4, несколько вариантов ( все включено, завтраки, ужины) . Мы отдыхали через греческого туроператора Музенидис тревел. Нареканий не возникло.