Вообще, нужно сначала испробовать разные варианты. Например, сказать, что плохо чувствуете и для поправки здоровья нужен отпуск. Сказать, что заболел кто-то из родственников и ему/ей нужна ваша помощь. Попробуйте давить на жалость. Можно, в конце концов, взять больничный. Как говорится, уволиться всегда успеете. Лучше попробуйте варианты с уговорами начальства.
Что касается поиска работы, то всё зависит от вашей специальности, квалификации и так далее. Прежде чем увольняться, просмотрите интернет, выясните, каков сейчас спрос на ваши услуги и принимайте решение.
Я уходил в никуда. Бывало такое. Но, в отличие от Вас, я был в своём городе, со своим жильём (точнее, родительским) и были, хоть и небольшие, но источники дохода, помимо зарплаты.
А так, в принципе, я Вас понимаю: сейчас, в век звериного капитализма, от работы действительно устаёшь, что просто нету сил. Да и работать приходится, что называется, на хозяев. Что, тоже, не вселяет особого желания работать.
Но, надеюсь, всё у вас разрешиться нормально. Всё-таки, работодатель, если его постараться хорошенько уговорить, пойдёт Вам навстречу. Успехов Вам.