в какие транспортные организации Москвы требуются водители категории Е?

Категории "Е" отдельно не бывает. Она всегда является дополнением к "В", "С" или "Д". Если у вас "С" и "Е", то вас с удовольствием возьмут на любое строительное автопредприятие или базу механизации, где преобладают панелевозы, цементовозы и другие грузовики с прицепами или полуприцепами. А если имеете "Д" и "Е" - то вам прямая дорога в любой автобусный парк, где есть сочлененные автобусы (т. н. "гармошки")