В какие безвизовые страны хорошо в июне с ребенком?

Конечно, Турция. Все "заточено" для отдыха с детьми.
Парк динозавров недалеко от Кемера http://yarovaya-travel.ru/turtsiya/park-dinozavrov-v-turtsii-luchshe-odin-raz-uvidet.html
Аттракционы, океанариум, аквапарк, лунапарк в Анталии.
Фрукты, море, солнце, природа - все что нужно для детишек.

Египет и Турция (после середины июня) . Можно махнуть и в Тунис, но как и в Турции, можно вляпаться в холодное море (да еще и в ветра).

В Турции. Для детей - идеально. Можно, конечно и на Кипр, но там условий для детей меньше, скучнее, а стоимость дороже.