можно ли хранить чеснок в погребе, для посадки на следущий год ?

Можно, если погреб не слишком влажный. У меня вот в подвале все растет, кроме корнеплодов - и лук и чеснок, влажность высокая. Но и то не страшно, сажаю уже с готовыми корнями.

В погребе сыро Он прорастет

Мы на зиму чеснок в погреб не укладываем. Сажаем в зиму- остальное съедается и в консервацию используем. Хватает только до февраля.

лучше дома и в сухом не сильно прохладном месте

Нет. В погребах обычно высокая влажность, чеснок уже к январю начнет расти. Видимо, речь идет о яровом чесноке (хранится в сухом месте) , т. к. озимый сажают осенью.