могут ли дать ипотеку если первоначальный взнос менее 20%?

Да, только не 10 %, а от 10 %.

Но страховать риск ответственности заемщика придется.

Сумма первоначального взноса обычно составляет от 15%. У Сбербанка есть программа где сумма первоначального взноса может составлять 12% от суммы одобренного кредита. На одобрение кредита помимо первоначального взноса влияет множество других факторов.