шенгенская виза закончится 20 августа. а она мне нужна снова 10 сентября? могут ли давать так часто?

Конечно можно, все абсолютно законно

Нет, тут спорный вопрос. В Шенгенской зоне Вы можете находиться не более чем 90 дней за полгода. И, если Вам открывают второй шенген, то его дадут на то количество дней, на который лимит не исчерпан (90 - количество дней, которые Вы провели в зоне шенгена с 1.07)

да, хоть 21 августа

Считайте, чтобы не превышало 90\180 дней пребывания в Шенгене.