Можно проще, чем по частям, но раз указан именно этот метод, то тогда решаем его как возвратный интеграл - "по частям".
Первый раз по частям: u=sin5x, dv=cosx dx => du=5cos5x, v=sinx
Получим: sin5x*sinx-5 int sinx*cos5x dx.
Полученный интеграл снова берем по частям:
u=cos5x, dv=sinx dx => du=-5sin5x, v=-cosx
Получим (с учетом первого выражения) :
sin5x*sinx-5 (-cosx*cos5x-5 int cosx*sin5x dx)=
=sin5x*sinx+5cosx*cos5x+25 int cosx*sin5x dx
Последний интеграл - такой же, как и исходный. Обозначим его, например, Y. Тогда получим уравнение:
Y=sin5x*sinx+5cosx*cos5x+25*Y
-24Y=sin5x*sinx+5cosx*cos5x
Y= -(sin5x*sinx+5cosx*cos5x)/24 + C
1/2*int(sin4x+sin6x)dx=-1/2*(cos4x/4+cos6x/6)+C. Зачем здесь по частям? По частям, как раз, ничего не выйдет!!
Int sin5x cosx dx=Int 0,5 (sin6x +sin4x)dx=0,5 Int sin6x dx+0,5 Int sin4x dx=
= -1/12cos6x-1/8cos8x+C