Если сделать патент в Москве а потом перерегистрироваться в подмосковье, будет такой патент продливать регистрацию

Патент предоставляет право мигранту осуществлять трудовую деятельность на территории того субъекта в котором выдан.

Нет конечно.. если патент оформлен в Москве, вам надо в Москве и находится..

...не будет, Москва и область - это разные вещи..