У Вас не совсем верные представления о "разгоне" тела. Можно как в Вашем примере с тележкой- бежать вместе с одинаковой скоростью, вместе разгоняться, потом тележку отпустить. Таким способом действительно не разогнать быстрее, чем скорость разгоняющего. Но делают так только при плавном разгоне. Вообще же в физике известен закон сохранения импульса. Импульс равен произведению скорости на массу. При взаимодействиях тел он сохраняется. Т. е. от тела к телу передаётся не скорость, как Вы полагали, а импульс. Грубо говоря, это значит, что тяжёлое медленно движущееся тело может стукнуть по маленькому лёгкому и заставить это лёгкое тело двигаться с большой скоростью (гораздо больше, чем была у большого) . Пример Вам приводили: футболист и мяч. Однако при этом взаимодействие оказывается очень недолгим и сильным - фактически ударное воздействие, резкий толчок.
Что касается частиц в ускорителях. Почему, если скорость света недостижима, то сразу вдвое меньше? Каждая из встречных частиц движется почти со скоростью света. Их скорость сближения с точки зрения наблюдателя в лаборатории почти в 2 раза выше скорости света. Но вот с "точки зрения" каждой из частиц другая движется не с двойной скоростью света, а с почти световой, но всё равно меньшей. Этот эффект даёт так называемая релятивистская формула сложения скоростей. Направляют частицы навстречу друг другу не для достижения большой скорости, а для более эффективного столкновения. Помните з-н сохранения импульса? Так вот при встречном движении суммарный импульс равен 0. А это значит, что столкнувшиеся лоб в лоб частицы в принципе могут остановиться. Значит почти вся кинетическая энергия разогнанных частиц может быть использована на рождение новых частиц.
Ну и наконец про разгон самих частиц. Как Вам отвечали. их разгоняют электромагнитным полем. А у электромагнитного поля скорость всегда равна скорости света, так что полем можно "доразогнать" и без того быстрые частицы, заставить их двигаться ещё чуть-чуть быстрее (но не быстрее света) .