Когда человек уходит, то и проблемы с ним связанные, так же перестают существовать?

с чего бы?
они могут даже умножиться.

С президентом Украины по крайней мере так не получилось

Вы проницательны не по годам - нет человека ...нет проблем.)

смотря в ком были эти проблемы, зачастую не перестают

есть люди, которые после себя оставляют больше проблем, чем до своего ухода