Дифференциальные уравнения

Будем использовать знак S в качестве символа интегрирования.

Введем параметр p = y'. Тогда dy = p dx.

Исходное уравнение можно записать в виде:
x = p + sin(p)

Следовательно:
dx = d (p + sin(p)) = (1 + cos(p)) dp

Получаем:
dy = p dx = p (1 + cos(p)) dp

Решаем это обыкновенное дифференциальное уравнение:
dy = p (1 + cos(p)) dp
S dy = S p (1 + cos(p)) dp
y = p^2 / 2 + S p cos(p) dp

Вычислим:
S p cos(p) dp = S p d sin(p) =
p sin(p) - S sin(p) dp =
p sin(p) + cos(p) + C

Получаем решение в параметрическом виде:
x = p + sin(p)
y = p^2 / 2 + p sin(p) + cos(p) + C,
где С - произвольная постоянная.

В общем, как-то так. Может, со знаками напутал, но идея, надеюсь, понятна.