Решить с помощью дифференциального уравнения: " Моторная лодка движется со скоростью v=24 км/ч. Через 5 минут после выключения мотора v=6 км/ч. Найти путь, пройденный лод-кой по инерции за 10 минут, если сопротивление пропорционально скорости лодки. "
F(t) - сила сопротивления воды лодке
F(t) = kV(t) - по условию, где k - неизвестный постоянный коэффициент
a(t) = -F(t) / m - ускорение лодки при движении по инерции, где m - масса лодки
V'(t) = a(t) - производная скорости равна ускорению
Получаем уравнение:
V'(t) = -kV(t) / m
dV / dt = -kV / m
dV / V = -kdt / m
Интегрируем:
ln|V| = -kt / m + C
Выражаем V:
V = +-e^(-kt / m) * C1
V = s^t * С2
Решаем систему уравнений:
V(0) = 24; V(1/12) = 6
Получаем формулу скорости:
V = 24 * 2^(-24t)
Пройденный путь - это интеграл скорости по времени:
x(t) = И (V(t)dt) = -1 / ln2 * 2^(-24t) + C
Определенный интеграл:
x(1/6) - x(0) = 15 / (16 * ln2)
Что примерно равно 1,35 км
Десять лет таких не решал, могу ошибиться )
⇢