на окружности отмечены 9 точек.

Занумеруем точки цифрами от 1 до 9 по часовой стрелке (или против) . Рассмотрим кривые, начинающиеся в точке 1.
Соединив любые две точки, мы раздели окружность на две части. Одна (хотя бы одна) из получившихся частей не должна содержать точек, так как в противном случае отрезок, соединяющий точки из разных частей пересечет построенный отрезок, значит в качестве следующей точки можно выбрать одну из двух точек, соседних с точкой 1. (точка 2 или 9), на каждом следующем шаге, кроме последнего, можно будет выбрать одну из двух точек, соседних с уже использованными точками, следовательно количество кривых, начинающихся в точке 1 равно
2^7=128
Всего ривых получится 9*128/2=9*64=576