Может ли сотрудник ГИБДД требовать показать регистрацию

Конечно, особенно в случае составления Протокола об административном правонарушении, в котором должны отражаться сведения о правонарущителе, в т. ч. его РЕГИСТРАЦИЯ по месту ЖИТЕЛЬСТВА или ПРЕБЫВАНИЯ, а также о фактическом проживании (Приказ МВД РФ от 02.03.2009 N 185).
Ну и покажи.. . В чем проблема-то?

Нет! У каждого абрама - своя программа! Пусть ловит пьяниц и лихачей!

Регистрацию чего? Транспортного средства?

даже пассажиров может проверить и пробить паспорт