сколько километров нужно проехать поезду, чтобы он развернулся на 360 градусов?

Ноль. Через сутки он развернётся на 360 градусов вместе с землёй.

На линиях со скоростным движением (до 160 км/ч) радиусы кривой пути не должны быть меньше 2000 м. Периметр 2*3,14*2000=12560 метров, половина 6280 м, значит 6,28 км. Вообще радиус кривой пути допускается до 4000 метров.

6283,18 метров на линии общей сети.
Экспериментальная кольцевая железная дорога ВНИИЖТ.
Техническое устройство. Пути. Три кольцевых пути протяжённостью 6 (внешний первый путь) и по 5,7 (второй и третий пути) километров. Первый путь расположен на ровной площадке, без уклонов, с постоянной кривизной 956 метров, оборудован централизованной автоблокировкой, устройствами диагностики движущегося подвижного состава. Второй и третий пути имеют кривые переменного радиуса с прямыми вставками, уклоны до 12 ‰ и проходят через специальную мостовую эстакаду. Все три пути электрифицированны, причем в контактную сеть может подаваться как переменный ток 25 кВ, так и постоянный 3 кВ.

На первом кольцевом пути скорость движения испытываемых вагонов до 140 км/ч, на втором и третьем — до 90 км/ч.

Я думаю имеется ввиду длина пути с минимально возможным радиусом изгиба. Примерно полкилометра-точных сведений у меня нет.

Приведу цитату из энциклопедии "Кругосвет"
Повороты пути тоже ограничивают скорость. Действие центробежной силы можно до некоторой степени скомпенсировать, поднимая на поворотах внешний рельс относительно внутреннего, но разницу между их уровнями нельзя делать больше 15 см. При повороте на 1° (радиус кривизны поворота 1750 м) нельзя развивать скорость более 150 км/ч; при повороте на 2° скорость надо снижать до 80 км/ч; при 3° – до 65 км/ч; при 5° (радиус кривизны 349 м) – до 50 км/ч. На скоростных трассах следует исключать повороты более 2°. Тем не менее, повороты железнодорожного пути более 3° встречаются даже на равнинах; в гористой местности нередко приходится делать повороты в 8° и даже 10°. Ограничивает скорость движения и многое другое – условия движения по мостам и в тоннелях, на пересечениях путей, на стрелках, на спусках (где особенно важно контролировать скорость, учитывая возможности тормозной системы) .
Проще, говоря, чем меньше скорость движения, тем меньше безопасный радус поворота. Длина окружности = 2*π*R. При скорости 50 км/ч получаем около 2 км. При этом нельзя сильно увлекаться миниатюризацией. Длина вагона около 25 м. Если речь идет о настоящей железной дороге, то дистанция будет составлять пару сотен метров. А паровозики детского парка развлечений или настольную ЖД рассматривать не будем.

На 360? Это ж полный круг - куда мордой смотрел, туда и будет смотреть после такого разворота! А на хрен ему тогда кольцо? Вот, на 180 - другое дело, путь должен быть в виде буквы U, и как уже сказали, 6,28 км по кривой.

А вообще, это чушь. Практически такое применять никто не будет - много материалов на пути и площади земли для их размещения нужно. Все локомотивы сейчас "двухголовые", да и на всякой станции, где есть депо, есть и разворотный круг для локомотивов (2-секционники типа 2ТЭ-116 расцепляются и в депо ставятся по 1 секции, поворачиваясь так, чтоб в депо они стояли мордой на улицу).