докажите, что сумма рационального и иррационального чисел есть число иррациональное?

Поскольку рациональным считается любое число, которое может быть представлено в виде m/n, где m - целое, а n - натуральное число, то нетрудно доказать, что сумма и разность двух рациональных чисел также является рациональным числом.
Исходя из этого факта и можно ответить на данный вопрос.
Пусть, например, a - рациональное и b - иррациональное число. Предположим, что c=a+b - иррациональное число. Тогда b=c-a - рациональное число. Противоречие. Таким образом, с не может быть рациональным числом.