решить дифференциальное уравнение вида (с помощью задачи коши) (2x-y^2)y'=2y; y(1)=2

запишем в таком виде.
(2x-y^2)dy -2ydx=0
считаем, что x=x(y)
потом вернемся к зависимости y=y(x).

(2x-y^2) =2yx'
x' = x/y -y/2

1) x' = x/y
dx/x = dy/y
x=Cy

2) x=C(y)*y
x' = C' *y +C

C' * y +C = C -y/2
C' = -1/2
C = -y/2

x= Cy -y^2 /2
тогда
y = C-sqrt(C^2 -2x)
y= sqrt(C^2 -2x) + C

y(1) = 2 =C-sqrt(C^2 -2) - корней нет.
y(1) = 2 = sqrt(C^2 -2) +C ==> C=3/2
==> y = sqrt(9/4 -2x) + 3/2 = 1/2 sqrt(9-8x) +3/2

Ответ : 1/2 (sqrt(9-8x) +3)