Помогите мне решить это задания: 0,(2) - 0,1(9). Только с обьяснениям, чтобы я мог ребенку обьяснить. Спасибо

0,(2) и 0,1(9) - это периодические бесконечные десятичные дроби. Периодическими называются те дроби, у которых, начиная с некоторого знака после запятой - наблюдается последовательность цифр, представляющих собой повторяющуюся группу цифр, т. е.

0,(2) - это 0,2222222...

В скобках выводится группа цифр, которая повторяется. Она называется периодом дроби. Количество цифр в скобках называется длиной периода
Например

1,(23) - это 1, 23232323... -период 23, длина периода - 2;
3, (876) - это 3, 876876876876... -период 876, длина периода - 3

Повторение может начинаться не сразу после запятой, а спустя некоторое количество цифр. Например:

5,678(12) = 5, 67812121212..

Такая дробь называется смешанной периодической бесконечной десятичной дробью.
______________________________

Так, это теория. Теперь непосредственно к вашему вопросу.
Для того чтобы вычислить выражение 0,(2) - 0,1(9), необходимо перевести обе десятичные дроби в обыкновенные

(это следует из теоремы о том, что, цитирую
"Всякая бесконечная периодическая десятичная дробь представляет рациональное число").

Делается это следующим образом:
1) Переведем в обыкновенную дробь десятичную 0,(2)
а) Предположим, что нам дано уравнение x = 0,(2). Длина периода этой дроби равна 1.
б) Умножим дробь на 10 в степени этой длины, то есть на 10^1, или просто 10. Получим

10x = 2,(2) ,
где 2,(2) - дробь с теми же цифрами после запятой.
в) Отнимем целую часть дроби из уравнения:

10x - 2 = 0,(2) = x .
Перегруппируем слагаемые (с иксом - влево, остальное - вправо) , получим

10x - x = 2, откуда x = 2/9

Итак 0,(2) = 2/9. Можете проверить на калькуляторе.

2) Вычислим, чему равно значение 0,1(9)

а) Здесь надо уже действовать более строго и следовать такому правилу вычисления (цитирую г-на Becas с одного из форумов) :

"Чтобы обратить периодическую дробь в обыкновенную, надо из числа, стоящего до второго периода, вычесть число, стоящее до первого периода, и записать эту разность числителем; в знаменателе написать цифру 9 столько раз, сколько цифр в периоде, и после девяток дописать
столько нулей, сколько цифр между запятой и первым периодом. " т. е. , к примеру

0,(36) = (36-0)/99 =36/99 = 9*4/9*11 = 4/11;
5,8(12) = (5812-58)/990=5754/990=959/165

б) Тогда 0,1(9) = (19 - 1)/90 = 18/90 = 2/10 = 1/5

1/5 в обратном переводе будет десятичной дробью 0,2, это так. Однако это не ошибка, так как в теории пределов доказывается, что периодическая дробь 0,(9) равна единице. В нашем случае та же аналогия. Подробнее здесь:

http://ru.wikipedia.org/wiki/0,(9)

3) Итак,

0,(2) = 2/9
0,1(9) = 1/5
0,(2) - 0,1(9) = 2/9 - 1/5

Приводим к общему знаменателю 9*5 = 45

10/45 - 9/45 = 1/45

Ответ: 1/45