Найти все лорановские разложения данной функции по степеням z : (4z-64)/(z^4+4z^3-32z^2)

Question

Свет · Accepted Answer

Вот: w=4(z-16)/(z^2(z^2+4z-32)); z^2+4z-32=(z-4)(z+8). 
 
1/(z^2+4z-32)=A/(z-4)+B/(z+8). Числа А и В найдете сами. 
 
1) 0 < |z| < 4, 
1/(z-4)=-1/4*1/(1-z/4)=-1/4*(1+z/4+z^2/4^2+...), 
1/(z+8)=1/8*1/(1+z/8)=1/8*(1-z/8+z^2/8^2-...) 
 
2) 4 < |z|< 8, 1/(z-4)=1/z*(1-4/z)=1/z*(1+4/z+4^2/z^2+...), 
1/(z+8)=1/8*1/(1+z/8)=1/8*(1-z/8+z^2/8^2-...) 
 
3) 8 < |z| < oo. 
1/(z-4)=1/z*(1-4/z)=1/z*(1+4/z+4^2/z^2+...), 
1/(z+8)=1/z*1/(1+8/z)=1/z*(1-8/z+8^2/z^2-...)